Algèbre Linéaire 2016/2017

Cette page est dédiée au cours d'Algèbre Linéaire (L1 Maths-Info Université d'Aix-Marseille) et en particulier aux étudiants du groupe 2 de Luminy.

Note: Les contrôles continus (et solutions) que vous trouverez dans cette page ont été réalisés par moi même. Le reste (planches de TD, examens et corrigés) est part de la coordination.

Le cours s'articule en trois parties, d'environ 4 semaines chacune :

• Espaces vectoriels sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$
• Systèmes linéaires et matrices
• Applications linéaires

Ouvrage de référence : Algèbre Linéaire, Joseph GRIFONE, Cépaduès Editions, 4ème édition (2011), ISBN 978-2-85428-962-6.

Voir la plaquette et le syllabus du cours pour un programme complet, ainsi que les modalités de contrôle des connaissances :

Plaquette Syllabus

Cahier de bord :

Pour chaque séance, les références (pas toujours exhaustives !) dans le livre de Grifone sont indiquées.

• 16/01/17 : Définitions de corps commutatif et d'espace vectotoriel. Exemples : espace trivial, $\mathbb R^n$, $\mathbb C$, $\mathbb K[X]_{\leq n}$, $\mathbb K[X]$, espace des matrices $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, espace des fonctions $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, produit cartésien d'espaces vectoriels. Proposition : unicité de l'élément neutre et de l'opposé (démo).
  Grifone : paragraphes 1.1, 1.2.
• 18/01/17 : Définition de sous-espace vectoriel et conditions nécessaires et suffisantes. Exemples.
  Grifone : définition 1.3, propositions 1.4 et 1.5 avec démo.
• 19/01/17 : TD : Exercices 1 et 2 (E_3, E_4) de la planche 1.
• 23/01/17 : Exemples de sous-espaces vectoriels : sous-espaces vectoriels triviaux, droite et plan vectoriels, sous-espace engendré, intersection de deux sous-espaces vectoriels, etc. Définition de combinaison linéaire. Exemples.
  Grifone : paragraphe 1.3.
• 25/01/17 : Contrôle continu 1. Définition de famille génératrice. Exemples dans $\mathbb R^n$ et $\mathbb K[X]$.
  Grifone : définition 1.7.
• 26/01/17 : TD : Exercices 2 et 3 de la planche 1.
• 30/01/17 : Définitions d'espace vectoriel de dimension finie (exemples) et de famille libre et liée (exemples). Propositions avec démonstrations sur la notion de (in)dépendance linéaire.
  Grifone : définitions 1.8, 1.9, proposition 1.10 (démo).
• 1/02/17 : Contrôle continu 2 et correction. Correction contrôle continu 1.
• 02/02/17 : TD : Exercices 6, 8 et 10 de la planche 1.
• 6/02/17 : Définition de base d'un espace vectoriel de dimension finie et exemples. Proposition sur la décomposition unique sur les vecteurs d'une base (démo). Théorème d'existence de base en dimension finie (démo). Théorème de la base incomplète (démo).
  Grifone : proposition 1.11 (démo), définition 1.12, proposition 1.13 (démo), proposition 1.14 (démo), théorème 1.16 (démo), théorème 1.17 (démo).
• 8/02/17 : Contrôle continu 3 et correction. Définition de dimension d'un espace vectoriel et résultats annexes.
  Grifone : théorème 1.18, lemme, corollaire 1.19 (démo), théorème 1.21 (démo), proposition 1.22 (démo).
• 13/02/17 : Somme de deux sous-espaces vectoriels, somme directe et résultats annexes.
  Grifone : définition 1.28, proposition 1.29 et 1.30 (démos), définition 1.31, théorème 1.33 (démo), proposition 1.34.
• 15/02/17 : TD : Exercices 25, 27 et 29 de la planche 1.
• 17/02/17 : Révision pré-partiel.
• 27/02/17 : Matrices : définition, vocabulaire et notations ; matrices particulières (matrice nulle, matrice ligne ou colonne, matrice identité, matrice diagonale, matrice symétrique, matrice antisymétrique). Les matrices de taille fixée forment un espace vectoriel (opération d'addition et de multiplication par scalaire) : base canonique et dimension.
• 1/03/17 : Produit de matrices et propriétés. Définition de matrice inversible et exemples simples (matrice identité, matrice diagonale). Tranposée d'une matrice et propriétés.
• 6/03/17 : Systèmes linéaires : définition, vocabulaire et notations ; définition de système échélonné et de systèmes équivalentes ; opérations élémentaires sur un système et algorithme du pivot de Gauss.
• 8/03/17 : Contrôle continu 4. Notation matricielle d'un système linéaire. Équivalence d'un système linéiare par multiplication par une matrice inversible (démo). Matrices corréspondantes aux opérations élémentaires.
• 13/03/17 : Définition de matrice échélonnée et de matrice échelonnée réduite. Opérations élémentaires sur les matrices. Proposition : une matrice est inversible ssi sa forme échélonnée réduite est la matrice identité (démo). Calcul de l'inverse et explication de la méthode.
• 20/03/17 : Rang d'une famille de vecteurs, rang d'une matrice et propriétés.
• 22/03/17 : Proposition : une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est de rang maximal (démo). Théorème : l'espace des solutions d'un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel dont la dimension dépend du rang de la matrice des coefficients. (démo)
• 27/03/17 : Théorème de Rouché-Fontené (démo). Applications linéaires : définition, vocabulaire (endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, forme linéaire) et notations. Exemples. Proposition : l'image d'une famille liée est une famille liée (démo).
• 29/03/17 : Proposition : l'image d'un sev est un sve, l'image réciproque d'un sev est un sev (démo). Définition de noyau et de rang d'une application linéaire. Proposition : une application linéaire est injective ssi son noyau est le sev nul. Théorème du rang (démo).
• 03/04/17 : Corollaires du théorème du rang. Définition d'espaces vectoriels isomorphes (relation d'équivalence). Théorème : deux espaces vectoriels de dimension finies sont isomorphes ssi ils ont même dimension (démo).
• 05/04/17 : Contrôle continu 5 et correction. Matrices associées aux applications linéaires : définition et notation. Exemples. Isomorphisme entre l'espace des applications et l'espace des matrices.
• 10/04/17 : Calcul de l'image d'un vecteur. Matrice associée à la composition d'applications et à l'application inverse d'un isomorphisme.
• 11/04/17 : Matrice de passage et changement de base. TD : Exercices 25 et 27 de la planche 4.
• 13/04/17 : Contrôle continu 6.
• 24/04/17 : Révision pré-examen.

Documents de cours :

• Planches de TD : Planche 1Planche 2Planche 3Planche 4
• Contrôles continus : CC1CC1 corrigéCC2CC2 corrigéCC3CC4CC4 corrigéCC5CC5 corrigéCC6CC6 corrigé
• Partiels et examens : Partiel 1P1 corrigéPartiel 2P2 corrigéExamenE corrigé

Vieux partiels et examens

• 2015/2016 : Partiel 1P1 corrigéPartiel 2P2 corrigéExamenEx corrigé