Géométrie et Arithmétique 2016/2017

Cette page est dédiée au cours deGéométrie et Arithmétique (L1 Maths-Info Université d'Aix-Marseille) et en particulier aux étudiants du groupe 2 de Luminy. Le cours s'articule en trois parties, d'environ 4 semaines chacune :

  • Calcul vectoriel
  • Nombres Complexes
  • Polynômes

Voir la plaquette et le syllabus du cours pour un programme complet, ainsi que les modalités de contrôle des connaissances :

Plaquette Syllabus


Informations pour les étudiants
  • Il existe une liste de diffusion (Google Groupe) pour le groupe 2 de Luminy en L1 Maths-Info. Si vous n'y êtes pas inscrits (ou si vous voulez vous y inscrire avec votre mail personnel), cliquez ici.
  • Le vendredi 4 novembre de 14h à 16h30 nous participérons à une après-midi grand public Hommage à Claude Shannon, le père de la théorie de l'information organisée par le CIRM. Les intéressés peuvent m'écrire.
  • Le sixième contrôle continu aura lieu le mardi 6 décembre.


Cahier de bord :

  • 13/09/16 : Notion géométrique de vecteur (vecteurs géométriques), relation d'équipollence (vecteurs libres), opérations sur l'ensemble des vecteurs (somme et multiplication par scalaire) et leurs propriétés, représentation algébrique d'un vecteur dans $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$, opérations (correspondantes) sur $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$ et leurs propriétés, exemples et notations.
  • 14/09/16 : Définitions : vecteurs colinéaires, droite vectorielle, déterminant de deux vecteurs dans le plan, combinaison linéaire, plan vectoriel engendré par deux vecteurs dans l'espace, vecteurs coplanaires. Proposition : déterminant nul ssi vecteurs colinéaires (démo). Exemples.
  • 16/09/16 : bases de $\mathbb R^2$ et de $\mathbb R^3$, décomposition unique d'un vecteur sur une base. TD : exos 1, 2, 4 de la planche géométrie.
  • 20/09/16 : Contrôle continu 1. Définition géométrique du produit scalaire, définition algébrique du produit scalaire, propriétés (symétrie, bilinéarité, défini positif), norme, propriétés de la norme, vecteur unitaire, vecteurs orthogonaux, base orthonormée, Théorème de Pythagore (démo).
  • 21/09/16 : Correction exo 5 de la planche géométrie. Inégalité de Cauchy-Schwarz (démo), démonstration inégalité triangulaire de la norme, systèmes de coordonnées (cartésien, polaire et passage de l'un à l'autre), angle entre deux vecteurs, équivalence de la définition géométrique et algébrique du produit scalaire, formules pour le cosinus de l'angle entre deux vecteurs et pour le projeté orthogonal d'un vecteur sur l'autre.
  • 23/09/16 : Démonstration de la formule pour le projeté orthogonal. TD : exos 7, 8, 9, 10 de la planche géométrie.
  • 27/09/16 : Contrôle continu 2. Identité de Lagrange (démo), $|\det(u,v)|$ est égal a l'aire du parallelogramme de côtés $u$ et $v,$ équations paramétriques d'une droite affine dans le plan, vecteur normal, équation cartésienne d'une droite affine dans le plan, exemples.
  • 28/09/16 : TD : exos 12, 13 (différentes méthodes) de la planche géométrie.
  • 30/09/16 : TD : exos 14, 15, 16 de la planche géométrie. Définition de distance point/droite et du projeté orthogonal d'un point sur une droite. Proposition : si $H$ est le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $\mathcal D$ alors $d(M,\mathcal D)=\Vert \overrightarrow{HM} \Vert$ (démo).
  • 4/10/16 : Contrôle continu 3. Démo formule distance point/droite, positions réciproques de deux droites. Produit vectoriel et propriétés. Identité de Lagrange dans $\mathbb R^3$ (démo).
  • 5/10/16 : TD : exos 19 et 20 de la planche géométrie. Analogies entre le déterminant dans $\mathbb R^2$ et le produit vectoriel dans $\mathbb R^3$. Produit mixte.
  • 7/10/16 : Équations paramétriques et équation cartésienne d'un plan affine dans l'espace. Équations paramétriques et équations cartésiennes d'une droite dans l'espace. Positions rélatives de deux plans et d'une droite et un plan dans l'espace.
  • 11/10/16 : TD : exos 21, 22, 24 et 25 de la planche géométrie.
  • 12/10/16 : TD : exos 26, 27 de la planche géométrie.
  • 14/10/16 : Révision pré-partiel.
  • 18/10/16 : Introduction historique aux nombres complexes (équations de troisième degré, formules de Tartaglia-Cardano, Descartes -> nombres imaginaires, Euleur -> symbol $i$, Gauss -> nombres complexes). Forme algébrique d'un nombre complexe, opérations $+$ et $\cdot$ et leurs propriétés (corps), conjugué et propriétés, exemples.
  • 19/10/16 : Module d'un nombre complexe et propriétés. Interprétation géométrique des nombres complexes : plan d'Argand, forme vectorielle d'un nombre complexe. Système de coordonnées polaires, arguments et argument principal d'un nombre complexe.
  • 21/10/16 : TD : exos 1 et 2 de la planche complexes.
  • 25/10/16 : Contrôle continu 4. Forme trigonométrique d'un nombre complexe, formule d'Euler, forme exponentielle d'un nombre complexe, propriétés de l'exponentielle complexe, formule de Moivre, formules d'Euler pour le cosinus et le sinus. Récapitulatif : formes cartesiennes (forme algébrique, forme vectorielle), formes polaires (forme trigonométrique, forme exponentielle). Exemples. TD : exos 4 et 5 de la planche complexes.
  • 26/10/16 : TD : exo 6 de la planche complexes. Notations $\sum_{k=1}^n a_k$ et $\prod_{k=1}^n a_k$ et calculs algébriques. Exemples : somme téléscopique, somme géométrique. Définition de coefficient binomial.
  • 4/11/16 : Propriétés coefficients binomiaux (démos), triangle de Pascal, formule $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ (démo), formule du binôme de Newton (démo).
  • 9/11/16 : Contrôle continu 5. TD : exo 8 de la planche complexes.
  • 15/11/16 : Racines carrées d'un nombre complexe : définition et méthodes de calcul (forme exponentielle et algébrique). Résolution d'équations de second degré à coefficients complexes. Exemples (exos 16 et 18 de la planche complexes).
  • 16/11/16 : TD : exos 15 et 17 de la planche complexes.
  • 18/11/16 : Racines $n$-èmes d'un nombre complexe et géométrie. TD : exo 19 de la planche complexes.
  • 22/11/16 : Géométrie des nombres complexes (notions de vecteurs, angles entre deux vecteurs, distance, colinéarité, orthogonalité en termes de nombres complexes), équation complexe du cercle, transformations du plan, fonction complexes associée à une transformation, similitudes directes (translations, rotations, homothéties et leurs compositions).
  • 23/11/16 : TD : exos 11, 13, 26 de la planche complexes.
  • 25/11/16 : Révision pré-partiel.
  • 29/11/16 : Polynômes : définition, terminologie, opérations (addition, produit externe, produit interne) et propriétés, degré d'une somme et d'un produit de deux polynômes, composition de polynômes.
  • 29/11/16 : TD : exos 1 et 3 de la planche polynômes. Arithmétique des polynômes : divisibilité et propriétés, théorème de la division euclidienne, algorithme de la division entre deux polynômes.
  • 1/12/16 : Démonstration du théorème de la division euclidienne (existence et unicité). TD : exos 7 et 11 de la planche polynômes.
  • 6/12/16 : Contrôle continu 6. Fonctions polynomiales, définition de racine d'un polynôme, $\alpha$ est racine de $P(X)$ ssi $x-\alpha\, |\, P(X)$ (démo), définition de multiplicité d'une racine, racine simple et racine multiple, tout polynôme non constant de degré $n$ admet au plus $n$ racines comptées avec leurs multiplicités (démo), polynôme dérivé, dérivées itérées et relation avec les racines multiples, théoreme de D'Alembert Gauss (énoncé). Exemples.
  • 7/12/16 : TD : exos 14, 16 et 17 de la planche polynômes. Démonstration du corollaire au théoreme de D'Alembert Gauss (tout polynôme non constant dans $\mathbb C[X]$ de degré $n$ possède exactement $n$ racines complexes, comptées avec leurs multiplicités).
  • 9/12/16 : Définition polynôme irréductible et exemples, théorème de décomposition en facteurs irréductibles (énoncé), factorisation dans $\mathbb C[X]$ et $\mathbb R[X]$ (démos). TD : exo 26 de la planche polynômes. Révision similitudes directes et exemples. Goûter de fin d'année et tiramisu.
  • 13/12/16 : Révision pré-examen (exercices 1,2 et 3 de l'Examen 2015-2016).


Documents de cours - 2016/2017